Qonvert v1.9.0 (♯13) – Hilfe

Überblick

Diese App konvertiert Zahlen aus der Menge ℚ der rationalen Zahlen zwischen verschiedenen Basen (einschließlich nicht-Standard-Zahlensystemen) und zwischen verschiedenen Formaten wie Stellenwertnotation und Brüchen (einschließlich unechten, gemischten, ägyptischen und Kettenbrüchen). Die Zahlen können praktisch unbegrenzte Größe und Genauigkeit haben.

Die Zweitbelegungen der Tastatur erreichst du durch lang antippen. Die Tastatur verschwindet mit dem ◀ auf der Navigationsleiste oder durch runter wischen; sie taucht wieder auf, wenn du die Eingabezeile antippst.

Ein Ergebnis kurz antippen kopiert es in die Eingabezeile; lang antippen kopiert es in die Zwischenablage.

Eingabe- und Ausgabe-Systeme

Die Eingabe-Basis lässt sich mit dem Schieberegler im unteren Teil des Bildschirms oder den Tasten direkt darüber einstellen, die Ausgabe-Basis mit den Kontrollen im oberen Teil. Welche Tasten angezeigt werden (einschließlich welcher für negative Basen), kannst du in den Einstellungen unter „Tasten für Basen“ ändern. Wenn du eine Taste lang antippst oder einen Schieberegler ganz nach rechts ziehst, wird eine Dialogbox zum Einstellen der Basis (von ±2 bis ±280 oder φ, dem Goldenen Schnitt) angezeigt.

Die farbigen Tasten am rechten Rand wechseln zwischen verschiedenen Zahlensystemen (Standard, balanciert, bijektiv, griechisch und römisch) – mehr dazu gleich. Nicht jedes Zahlensystem lässt sich mit jeder Basis kombinieren. Wenn du eine unmögliche Kombination einstellst, wird die entsprechende Taste grau, und die App verwendet das Standard-Zahlensystem.

Basis und Zahlensystem lassen sich auch direkt in der Eingabezeile mit den Kürzeln @ # $ % & angeben. Diese stehen normalerweise für die Standard-Zahlensysteme mit den Basen 2, 8, 10, 12 und 16; sie lassen sich aber in den Einstellungen anpassen.

Standard-Stellenwertsysteme

Wenn du beispielsweise von Standard DECimal (Basis 10) nach Standard HEXadezimal (Basis 16) umrechnest, wird eine Eingabe wie 345 als 3×10²+4×10¹+5×10⁰ interpretiert und zu 1×16²+5×16¹+9×16⁰ konvertiert, angezeigt als 159.

Ziffern von 0 bis 9 funktionieren wie üblich. Für Ziffern über 9 werden die Buchstaben A = 10 bis Z = 35, Þ = 36, Ч = 37, ʔ = 38, ʖ = 39, usw. verwendet. (Jetzt nach links wischen zeigt den Spickzettel mit weiteren Ziffern an und erklärt die Eingabemethoden.)

Es wird nicht zwischen Klein- und Großbuchstaben unterschieden; und Leerzeichen werden ignoriert.

Nicht-ganze Zahlen

Der Punkt . dient der Eingabe von Kommazahlen (Vorsicht, das Komma , hat eine andere Funktion!): 1.A6 in DOZenal (Basis 12) ist 1×12⁰+10×12⁻¹+6×12⁻² = 1.875 dezimal. Der Beginn der Periode wird durch einen Punkt oben ˙ gekennzeichnet (oder mit einem Doppelpunkt :, wenn du die Android-Tastatur statt der von Qonvert verwendest): Zum Beispiel bedeuten 0.1˙486 0.1486486486… und 21˙3.4 213.43434….

Das Ergebnis hat immer entweder eine endliche Anzahl von Kommastellen oder eine Periode. Manchmal ist diese aber sehr lang. Damit die App nicht einfriert, werden standardmäßig nicht mehr als 300 Stellen berechnet. Dieser Wert lässt sich in den Einstellungen ändern.

Wenn der Bildschirm zu klein für alle Ausgabeformate ist (Stellenwertsystem, Bruch, gemischter, Ketten- und ägyptischer Bruch), kannst du die Anzeige rauf und runter wischen.

Brüche

Gib den Zähler ein, dann einen Schrägstrich / und dann den Nenner, wie zum Beispiel 6/8 oder 1.5/2. Brüche werden nach Bedarf gekürzt oder erweitert, sodass das Ergebnis dieser beiden Eingaben 3/4 ist.

Gemischte Brüche verwenden einen Unterstrich _ zur Trennung von ganzzahligem Teil und eigentlichem Bruch: zum Beispiel 1_9/8, oder etwas Komplizierteres wie 1.˙3 _ 1/3. Brüche mit einem Absolutwert über 1 werden sowohl als unechte (17/8 oder 5/3 in unseren Beispielen) als auch als gemischte Brüche (2_1/8 oder 1_2/3) angezeigt.

Basis-Kürzel gelten für die einzelnen Teile eines Bruchs, sodass $10_@10/&13 eine gültige Eingabe ist. In %251B/14 gilt das Kürzel %25 nur für 1B, und 14 wird gemäß den aktuellen Einstellungen für Basis und Zahlensysteme interpretiert. Dasselbe gilt für die anderen zusammengesetzten Arten von Zahlen, die im Folgenden beschrieben werden.

Kettenbrüche

Kettenbrüche beginnen mit einem ganzzahligen Teil, gefolgt von einem Semikolon ; und einer Komma-getrennten Liste von Nennern. Kettenbrüche werden in eckigen Klammern angezeigt; für die Eingabe sind die Klammern optional.

Beispielsweise bedeutet 2;3,4 2 + 1/(3 + 1/4), was soviel ist wie 2.˙307692, 30/13, oder 2_4/13.

Es können auch nicht-ganze Zahlen einschließlich Brüchen eingegeben werden: 1.5; 2/3, 1_1/5 wird zu [2; 6] vereinfacht, das nur ganze Zahlen enthält. Die Ausgabe erfolgt immer mit positiven Nennern: -3;-1,-1,-18 wird zu [−4; 2, 18].

Ägyptische Brüche

Ägyptische Brüche sind Summen von Stammbrüchen. Sie werden wie Kettenbrüche eingegeben, aber mit geschweiften Klammern: {2;3,4 wird als 2 + 1/3 + 1/4 interpretiert und als 2.58˙3, 31/12, 2_7/12 und [2; 1, 1, 2, 2] angezeigt.

Jede rationale Zahl hat unendlich viele Darstellungen als ägyptischer Bruch. In den Einstellungen lässt sich eine Berechnungsmethode für den Hauptbildschirm auswählen. Die Ergebnisse der anderen Berechnungsmethoden erscheinen, wenn du ⛶ antippst – diese sind manchmal identisch und manchmal komplett verschieden.

Wenn ein ägyptischer Bruch zu lang ist, wird die Berechnung abgebrochen. Die maximale Länge hängt von der „Höchstzahl Nachkommastellen“ in den Einstellungen ab.

Grad, Minuten und Sekunden

Die Eingabe von 1° 23' 45" beispielsweise bedeutet 1+23/60+45/3600 = 67/48 = 1.3958˙3 in Standard dezimal. Die drei Teile dieses Formats müssen in dieser Reihenfolge stehen, aber nicht unbedingt alle vorhanden sein; außerdem sind auch nicht-ganze Zahlen erlaubt: 1° 45.6" oder 1/2' (eine halbe Minute) werden richtig interpretiert.

Der DMS-Schalter oben rechts bestimmt, ob Zahlen im normalen Stellenwertsystem oder als Grad, Minuten und Sekunden ausgegeben werden.

Negative Zahlen

Negative Zahlen lassen sich entweder in der gewöhnlichen Schreibweise mit einem Minus - eingeben, oder in Komplement-Notation mit zwei Punkten .. davor: Diese Punkte bedeuten „die höchste Ziffer in dieser Basis bis ganz nach links wiederholt“. Die Komplement-Notation funktioniert mit positiven Basen im Standard-System. Sie kommt vor allem in der EDV vor, wo −1 hexadezimal als FFFFFFFF gespeichert wird, −2 als FFFFFFFE und so weiter (mit so vielen Fs wie Platz ist). In Qonvert bedeuten also ..FFD oder einfach ..D im Hexadezimalsystem, oder ..997 oder einfach ..7 im Dezimalsystem, alle −3.

Ob negative Zahlen in gewöhnlicher oder Komplement-Notation ausgegeben werden, hängt vom Komplement-Schalter oben rechts ab.

Nicht-Standard-Zahlensysteme

Balanciert

In balancierten Zahlensystemen (das Bekannteste ist das balancierte Ternärsystem, also Basis 3) gibt es Ziffern mit negativen Werten, insbesondere Z = −1, Y = −2, …, J = −17 und noch weiter hinunter. (Jetzt nach links wischen zeigt den Spickzettel mit weiteren Ziffern an, wie sie in balancierten Systemen definiert sind.) Sie funktionieren mit ungeraden Basen bis 259. Im balancierten Ternärsystem bedeutet beispielsweise 10Z 1×3²+0×3¹−1×3⁰ = 8. Negative Zahlen benötigen in dieser Notation kein Minuszeichen: Z01 bedeutet −1×3²+0×3¹+1×3⁰ = −8.

Bijektiv

In einem bijektiven Zahlensystem einer Basis b gehen die Ziffern von 1 bis b, nicht von 0 bis b−1 wie üblich. Diese App kennt zwei Varianten: „bijektiv 1“ verwendet die Ziffern 1 bis 9 und von A aufwärts wie in der Standardnotation und funktioniert bis zur Basis 279, „bijektiv A“ verwendet A = 1, B = 2, … Z = 26, Þ = 27, usw. und funktioniert nur bis zur Basis 270. Die ersten natürlichen Zahlen im Dezimalsystem bijektiv 1 sind also 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (=10), 11, 12, …, 19, 1A, 21, …, die ersten natürlichen Zahlen im Hexavigesimalsystem (Basis 26) bijektiv A sind A, B, C, D, …, X, Y, Z, AA, AB, AC, …. Null ist eigentlich eine leere Zeichenkette; sie wird als „/“ angezeigt.

Kommazahlen funktionieren in bijektiven Systemen nicht wirklich; daher werden nicht-ganze Zahlen nur als Brüche angezeigt.

Griechische Zahlen

Griechische (milesische) Zahlen gibt es nur in der Basis 10. Die griechischen Buchstaben Α Β Γ Δ Ε Ϛ Ζ Η Θ haben die Werte 1 bis 9, Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π Ϟ sind 10 bis 90, Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω Ϡ sind 100 bis 900, und ͵Α ͵Β ͵Γ usw. sind 1000 bis 9000. Sie werden normalerweise von groß nach klein geordnet: 1231 ist ͵ΑΣΛΑ. In der Ausgabe werden sie zur besseren Unterscheidung von römischen Zahlen (siehe unten) von einer Keraia (ʹ) gefolgt, aber für die Eingabe ist die Keraia optional.

Myriaden (10 000er) werden nach Diophant mit einem Punkt gekennzeichnet: Θ.ΦΛ bedeutet 9 Myriaden 530 = 90530. Noch größere Zahlen werden mit mehreren Punkten konstruiert (Π . . ʹ für 80 0000 0000), ohne dass es für diese Schreibweise irgendein Vorbild gäbe.

○ steht für die Null. Nicht-ganze Zahlen werden nur als Brüche angezeigt.

Wenn als Eingabe-System griechische Zahlen ausgewählt sind, akzeptiert die App auch arabische Zahlen (also Standard dezimal), damit du weniger hin- und herschalten musst. Außerdem werden griechische Zahlen in jedem Eingabesystem akzeptiert, da sie griechische Buchstaben enthalten und daher ohnehin mit nichts anderem verwechselt werden können.

Wenn als Ausgabe-System etwas anderes als Griechisch eingestellt ist, werden positive ganze Zahlen zusätzlich in der zweiten Ausgabe-Zeile als griechische Zahlen angezeigt.

Römische Zahlen

Römische Zahlen gibt es auch nur in der Basis 10. Sie können die Buchstaben I V X L C D M enthalten. Symbole für größere Zahlen sind ↁ = 5000, ↂ = 10 000, ↇ = 50 000, und ↈ = 100 000. (Wenn du die Android-Tastatur statt der von Qonvert verwendest, kannst du sie als I)) ((I)) I))) (((I))) eingeben.)

Traditionellerweise werden noch größere Zahlen mit Rahmen geschrieben, die ihren Inhalt mit 100 000 multiplizieren. Durch Verschachteln von Rahmen lassen sich sehr große Zahlen schreiben. Qonvert benutzt dazu den senkrechten Strich („Pipe“) |: |VI|((I))MM = VIↂMM = 6 12000. Die führenden Pipes können ausgelassen werden; und alle Pipes lassen sich durch Ausrufezeichen ersetzen: ||V|M|II = V!M!II = 5 01000 00002. (Die alten Römer hätten diese Schreibweise sicher nicht erkannt, aber es scheint keine antike Notation für so große Zahlen zu geben.)

S (semis) nach dem ganzzahligen Teil steht für ein Halb, und ein oder mehrere Punkte für jeweils ein Zwölftel. N für nulla oder nihil bedeutet Null.

Wenn als Eingabe-System römische Zahlen ausgewählt sind, akzeptiert die App auch arabische Zahlen (Standard dezimal); und wenn als Ausgabe-System etwas anderes als Römisch eingestellt ist, werden positive ganze Zahlen zusätzlich in der dritten Ausgabe-Zeile als römische Zahlen angezeigt.

Spezielle Basen

Phinär

Phinär, die Basis φ = (1+√5̄)/2, kann mit dem Standard- und dem balancierten Zahlensystem kombiniert werden, wobei der Unterschied darin besteht, dass du in letzterem Z = −1 als Ziffer verwenden kannst. Auf den Schiebereglern ist Phinär ganz links zu finden.

Obwohl der Goldene Schnitt φ irrational ist, haben ganze Zahlen in der Basis φ immer endliche Darstellungen (allerdings meist mit Nachkommastellen), und nicht-ganze rationale Zahlen haben periodische Darstellungen. Das Gegenteil trifft nicht zu: Wenn du eine zufällige Ziffenfolge eingibst, bekommst du wahrscheinlich eine Fehlermeldung wie „101ᵩ (5/2+√5/2) ist nicht rational“.

Die Ausgabe erfolgt ausschließlich mit den Ziffern 0 und 1 (Z für negative Zahlen im balancierten System), und nie mit zwei oder mehr 1en (oder Zs) hintereinander. Die Bestandteile von Brüchen, einschließlich Ketten- und ägyptischer Brüche, sind nicht notwendigerweise ganze Zahlen, aber es sind immer Zahlen ohne Nachkommastellen (englisch: phintegers). Ägyptische Brüche können mit der gierigen und der phinären Rest-Methode berechnet werden. Brüche im DMS-Format werden derzeit nicht unterstützt.

Negative Basen

Negative Basen lassen sich mit allen Standard- und Nicht-Standard-Systemen verwenden, einschließlich aller Notationen für nicht-ganze Zahlen – nur nicht mit griechischen und römischen Zahlen und mit dem Phinärsystem. Da ungerade Potenzen von negativen Zahlen negativ sind und gerade Potenzen positiv, wird 345 in Standard nega-dezimal als 3×10²−4×10¹+5×10⁰ = 265 interpretiert, und 3450 als −3×10³+4×10²−5×10¹ = −2650: Zahlen in negativen Basen kommen ohne negatives Vorzeichen aus.

„Bijektive“ Systeme mit negativen Basen sind nicht wirklich bijektiv: zum Beispiel ändert es nichts am Wert einer Zahl im Negadezimal-System, wenn man ihr 1A voran stellt.

Komplexe Basen

Obwohl Qonvert komplexe Basen nicht versteht, gibt es einige Ausweichmöglichkeiten:

Eine reelle Zahl in Basis 2i ist diese Zahl in Basis −4 mit Nullen an jeder zweiten Stelle eingefügt: −13.5₁₀ = 1303.2₋₄ = 1030003.02₂ᵢ.
Das funktioniert auch für größere imaginäre Basen, immer mit deren Quadrat als negativer Basis: Basis −9 für Basis 3i usw.
In Basis i−1 lässt sich konvertieren, indem man in Basis −4 konvertiert und dann die Ziffern folgendermaßen substituiert:
0 → 0000, 1 → 0001, 2 → 1100, 3 → 1101

Unicode

Ganze Zahlen von hexadezimal 20 bis 10FFFF (dezimal 32 bis 1114111) werden nicht nur in das entsprechende Ausgabe-System und in griechische und römische Zahlen konvertiert, sondern auch in das entsprechende Unicode-Zeichen. (Wenn die Anzeige für deinen Geschmack überfüllt ist, kannst du einiges davon in den Einstellungen deaktivieren.)

Umgekehrt lässt sich durch Eingabe von " plus einem Unicode-Zeichen dessen Code finden. Allerdings funktioniert das nur für einzelne Zeichen, nicht für Kombinationen wie Buchstaben mit diakritischen Zeichen, Menschen mit Hautfarben, oder Flaggen.

Im Internet gibt es hervorragende Quellen, um Unicode-Zeichen über ihre Namen zu finden. Wenn du aber den Code für die Schildkröte im balancierten Undezimalsystem benötigst, ist Qonvert deine einzige Quelle. (Die Antwort ist 1YX 215.)

Und wenn irgendwer fragt warum, ist die Antwort darum.